Петров И. Б.
Дата: 08.03.2019
E-mail: petrovibmath@yandex.ru
Св-во о публикации № 219030800945.


Абсурдное доказательство бинарной проблемы Гольдбаха.

Бинарная проблема Гольдбаха (проблема Эйлера) формулируется как утверждение о том, что любое четное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел ^[1]. Однако прежде чем приступать к доказательству данного утверждения, дадим четкие определения для простого числа и числа четного.

Как известно, простое число — это натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя ^[2]. Четное число — это такое целое число, которое делится на 2 без остатка.

Докажем простое утверждение: любое простое число является нечетным. Представим, что это утверждение ложно. Но если бы какое-либо простое число было бы четным, то оно бы делилось само на себя, на 1 и 2, что противоречит определению простого числа. Исключением является простое число 2. В итоге: для всех простых чисел кроме 2 данное утверждение верно.

Теперь докажем следующее утверждение: сумма двух простых чисел (кроме 2) будет числом четным. Это утверждение следует из утверждения о том, что суммах нечетных чисел всегда будет числом четным. Докажем это:

Представим первое нечетное число как: 2a + 1, а второе в виде - 2b + 1. Тогда их сумма будет равна: 2a + 1 + 2b + 1 = 2a + 2b + 2 = 2 * (a + b + 1), где a и b – натуральные числа.

Легко заметить, что значение данной суммы — число четное, так как имеет сомножитель 2 (см. определение четного числа). При этом данное число, не будет являться простым (см. определение простого числа).

Лемма 1: сумма простых чисел будет всегда являться числом четным и как следствие — составным.

Вернемся к формулировке бинарной проблемы Гольдбаха: получается, что любое четное число принадлежащие множеству натуральных чисел {4,5,6,...,+∞}, можно представить в виде суммы двух простых чисел, то есть по определению принадлежащих множеству натуральных чисел {1,2,3,...,+∞}. Обозначим эти множества как: A = {4,5,6,...,+∞} и B = {1,2,3,...,+∞}.

Легко доказать, что оба этих множества принадлежат ряду натуральных чисел расположенному на отрезке числовой оси [1; +∞):

Тогда в нашем случае - А U В = {1,2,3,...,+∞}, включающему в себя все четные числа {4,6,8,...,+∞} и все простые числа {2,3,5,...,+∞}.

Лемма 2: значение суммы простых чисел всегда будет принадлежать множеству натуральных чисел {4,...,+∞}.

Граница данного множества следует из того факта, что сумма первых двух простых чисел 1 и 3 будет равняться 4.

Представим числовую прямую (1;+∞). Следуя математическому представлению нечетного числа (2a + 1) и четного (2a), становится понятно, что точки этой числовой прямой соответствующие четным числам, будут чередоваться с точками, которые соответствуют — нечетным.

Докажем это: так как нечетное число имеет вид - 2a + 1, для любого четного числа a, следовательно число a в данной формуле может принимать любые четные значения. Тогда: a + 1 – число нечетное.

Рассмотрим два числа на данной числовой оси: k – четное, d – нечетное. Тогда мы можем представить данные числа, как: k = 2a, d = 2b + 1, где a, b - четное число.

Найдем сумму: k + d = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1. Мы знаем, что 2(a + b) – число четное, так как кратно (делится) двум. Однако сумма 2(a + b) + 1 – число нечетное, так как единица не кратна двум. Числа a, d принадлежат множеству натуральных чисел, следовательно и их сумма также принадлежит этому множеству, то есть справедливо утверждение (a + b) є N. Следовательно мы можем утверждать, что a + 1 – число нечетное, где a - любое четное число. Аналогично можно доказать, что a + 2 – число четное.

Вернемся к заданной числовой оси. Так как на ней расположен ряд натуральных чисел начиная с 4, то его можно представить в виде арифметической прогрессии вида: a_n = a₁ + (n-1)d, где d – шаг прогрессии (равный 1).

В нашем случае, в рамках поставленной задачи (см. условие проблемы Гольдбаха) эта формула принимает вид: a_n = 4 + (n-1) = n + 3.

Для всех четных чисел эта прогрессия будет иметь вид: a_n = 2n + 2.

Чтобы доказать верность утверждения проблемы Гольдбаха, нам фактически достаточно доказать, что сумма любых двух простых чисел будет принадлежать множеству всех чисел ряд, который соответствует прогрессии a_n = 2n + 2.

Введем некое множество O = {a₁,a₂,a₃,…,+∞}, для которого a₁ = 1 (см. лемму 2), тогда: a_n = n. Объединим условия леммы 1 и леммы 2.

Лемма 3: сумма (двух) простых чисел будет всегда являться числом четным и принадлежать множеству натуральных чисел {4,6,8,...,+∞}.

Если мы докажем, что сумма двух простых чисел может всегда быть вычислена по формуле арифметической прогрессии a_n = 2n + 2, мы фактически решим проблему Гольдбаха.

Лемма 4: сумма двух простых чисел всегда может быть вычислена по формуле арифметической прогрессии a_n = 2n + 2.

Докажем это: возьмем два произвольных простых числа A и B є [1; +∞). Так как эти числа находятся на числовой прямой ряда натуральных чисел, то они являются членами арифметической прогрессии a_n = n. Пусть:

A = a_nA= n_A;
B = a_nB = n_B, где n_A, n_B – натуральные числа, при этом n_A ≠ n_B
A + B = n_A + n_B.

Примечание 1: Стоит заметить, что первый член арифметической прогрессии составляющей ряд таких сумм, в соответствие с условием леммы 2 будет равен 4.

Теперь рассмотрим три арифметические прогрессии:

1. Ряд натуральных чисел [1; +∞), для которого справедлива формула: a_nx = n_x.
2. Ряд натуральных чисел [4; +∞), для которого справедлива формула: a_ny = n_y + 3.
3. Ряд четных натуральных чисел [4; +∞), для которого справедлива формула: a_nz = 2n_z + 2.

Учтем, что n_x, n_y, n_z – это натуральные числа.

Мы знаем, что n_x = n_y + 3 (это следует из смещения на числовой оси множества чисел ряда [4; +∞) относительно [1; +∞)) и n_x = 2_nz + 2 (это следует из смещения на числовой оси множества четных числе ряда [4; +∞) относительно [1; +∞)).

Выразим первую арифметическую прогрессию через данные значения:

a_nx = n_y + 3;
n_y = n_x – 3,
n_y = (2n_z + 2) – 3,
n_y = 2n_z – 1;
a_nx = (2n_z – 1) + 3,
a_nx = 2n_z + 2.

Мы подтвердили взаимосвязь между всеми тремя множествами чисел через формулы арифметической прогрессии их членов, а также выразили прогрессию ряда натуральных чисел [1; +∞) через прогрессию ряда [4; +∞). Таким образом мы доказали, что A + B соответствует ряду прогрессии a_nx = 2n_z + 2. Это следует из примечания 1.

Таким образом мы фактически доказали лемму 4. Нам только остается доказать, что множество ряда чисел, соответствующих прогрессии a_nx = 2n_z + 2, фактически является множеством содержащим все четные натуральные числа начиная с 4. Но фактически нам достаточно просто проверить характеристическое свойство такой прогрессии, которое заключается в том, что: последовательность a₁,a₂,a₃,… есть арифметическая прогрессия если для любого ее элемента выполняется условие a_n = (a_n-1 + a_n+1) / 2, при n ⩾ 2.

Произведем преобразования:

a_n = (a_n-1 + a_n+1) / 2,
a_n = 2n + 2,
a_n = ( 2(n-1) + 2 + 2(n+1) + 2) / 2,
a_n = ( 2n - 2 + 2 + 2n + 2 + 2) / 2,
a_n = ( 2n + 2n + 4 ) / 2,
a_n = ( 4n + 4 ) / 2,
a_n = 2( 2n + 2 ) / 2,
a_n = 2n + 2.

Что и требовалось доказать. Таким образом лемма 4 — верна и множество сумм двух простых чисел будет содержать все четные числа начиная с 4, а значит для любого четного числа начиная с 4, будет существовать хотя бы одна пара простых чисел, сумма которых будет равняться этому четному числу.

Список использованной литературы:

[1] Александров П.С., Демидов С.С. (Ред.) ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА. С докладом Гильберта «Математические проблемы», произнесенного на II Международном Конгрессе математиков (Париж, с 6 по 12 августа 1900 г.). Комментарии советских математиков к каждой задаче. 2000. 240 с. ISBN 5-1236-0064-7.

[2] Простое число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 4.